Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C: =1（a>b>0）過點P(1, ）．離心率為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點．

①若直線l過橢圓C的右焦點，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t．

求t的最大值；

②若直線l的斜率為，試探究OA2+ OB2是否為定值，若是定值，則求出此

定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，t有最大值；定值7

【解析】試題分析: （1）由橢圓過點P(1, ），離心率為，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．

（2）①設直線l的方程為x=my+1，代入橢圓，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出t的最大值．

②設直線l的方程為，代入橢圓，得，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出OA2+OB2為定值．

試題解析：

（1） 得 所以橢圓.

（2）①設直線l的方程為，直線l與橢圓C的交點為，

由化簡得，易知，

所以，

所以＝，

所以，

所以當時，t有最大值.

②設直線l的方程為，直線l與橢圓C的交點為，

得，

，即.

，

，

=

=

==7.