Question

已知數(shù)列的首項(xiàng).
（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)任意的；
（3）證明：.

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）見解析

試題分析：（1）將兩邊去倒數(shù)并常量分量，然后所得式子變形數(shù)列{}的第n+1項(xiàng)是第n項(xiàng)若干倍形式，根據(jù)等比數(shù)列定義即可判定{}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，先求出{}的通項(xiàng)公式，再解出的通項(xiàng)公式；（2）將不等式右側(cè)式子配湊的通項(xiàng)公式形式，再將其化為關(guān)于的二次函數(shù)最值問題，通過放縮即可證明該不等式；（3）先將的通項(xiàng)公式常量分量，代入，通過放縮即可證明不等式的左半部分，對(duì)利用（2）的結(jié)論縮小，出現(xiàn)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列取為該數(shù)列前n項(xiàng)和的算術(shù)平局值，即可證明該不等式右半部分.
試題解析：（1），又
所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
                5分
（2）由（1）知

                      9分  
（3）先證左邊不等式，由知；當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；       11分
再證右邊不等式，由（2）知，對(duì)任意，有，
取，
則          14分
考點(diǎn):等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；二次函數(shù)最值；放縮法；轉(zhuǎn)化與化歸思想；運(yùn)算求解能力