Question

【題目】如圖1，在邊長為2的等邊中，分別為邊的中點，將AED沿折起，使得 ， ，得到如圖2的四棱錐A-BCDE，連結，且與交于點．

（1）求證：平面;

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）由題意可得，，即可得， ，利用線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標系后，表示出各點坐標，求出平面、平面的一個法向量為、，利用即可得解.

（1）證明：由題意，，

因為、分別為、的中點，

所以且相似比為2，所以，，

所以，，

所以，，

又因為，，所以，，

由可得平面，得證.

（2）如圖，過D作平面，DB為x軸，DC為y軸，Dz為z軸，建立空間直角坐標系；

所以，，，

由（1）知，則，

由可知，

所以，，，

設平面的一個法向量為，

所以，即，取得，

同理可得平面的一個法向量，

所以，

由圖可知，所求二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．