如圖,ABCD是邊長為2的正方形,面EAD⊥面ABCD,且EA=ED,EF∥AB,且EF=1,O是線段AD的中點,三棱錐F-OBC的體積為
23
,
(1)求證:OF⊥面FBC;
(2)求二面角B-OF-C的余弦值.
分析:(1)設BC的中點為M,連接OM,F(xiàn)M,設OM的中點為N,連接FM,則可證EO⊥面ABCD,進而可得FN⊥面ABCD,利用三棱錐F-OBC的體積為
2
3
,可得FN=1,進而可知OF⊥FM,由BC⊥面OFN,可得BC⊥OF,從而可證OF⊥面FBC;
(2)判斷∠BFC為二面角B-OF-C的平面角.利用余弦定理可求二面角B-OF-C的余弦值.
解答:(1)證明:設BC的中點為M,連接OM,F(xiàn)M,設OM的中點為N,連接FN
∵EA=ED,O是AD的中點,∴EO⊥DA,
∵面EAD⊥面ABCD,面EAD∩面ABCD=AD,
∴EO⊥面ABCD
∵M是BC的中點,O是AD的中點,∴OM∥AB
∵EF∥AB,∴ON∥EF
∵ON=EF=1,∴四邊形ONFE為平行四邊形,∴FN∥EO
∴FN⊥面ABCD
∵三棱錐F-OBC的體積為
2
3

∴VF-OBC=
1
3
S△OBC×FN=
2
3

∴FN=1
∵ON=OM=1,∴∠OFN=∠MFN=45°
∴∠MFO=90°,∴OF⊥FM
∵BC⊥OM,BC⊥FN,∴BC⊥面OFN
∴BC⊥OF
∵BC∩FM=M,∴OF⊥面FBC;
(2)解:∵OF⊥面FBC,∴OF⊥BF,OF⊥CF
∴∠BFC為二面角B-OF-C的平面角
∵BF=CF=
3

∴cos∠BFC=
BF2+CF2-BC2
2BF×CF
=
1
3
點評:本題考查線面垂直,考查面面角,解題的關鍵是掌握線面垂直的判定定理,正確作出面面角.
練習冊系列答案
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AB
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EF
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