(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函數(shù),

在(-∞,-2)上為減函數(shù).

(1)求f(x)的表達(dá)式;

(2)若當(dāng)x∈時(shí),不等式f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的值;

(3)是否存在實(shí)數(shù)b使得關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,若存在,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

 

【答案】

(1)f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.(2)需m>e2-2;

(3)存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2<b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和函數(shù)奇偶性以及函數(shù)與不等式的關(guān)系的綜合運(yùn)用。

(1)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f′(x)=2(1+x)-

=2·,

那么依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí),f(x)有極小值,∴f′(-2)=0.從而得到解析式。

 (2)由于f′(x)=2(1+x)-=,易證函數(shù)在上單調(diào)遞減,

因此若使原不等式恒成立只需求解其最大值m>e2-2即可.

(3)若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立,

方程f(x)=x2+x+b即為x-b+1-ln(1+x)2=0,

要使方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,只需g(x)=0在區(qū)間[0,1]和[1,2]上各有一個(gè)實(shí)根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,

故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2<b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.

解  (1)∵f′(x)=2(1+x)-

=2·,

依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù),在(-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時(shí),f(x)有極小值,∴f′(-2)=0.

代入方程解得a=1,

故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.

(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,

令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.

(由于x∈,故x2=-2舍去),

易證函數(shù)在上單調(diào)遞減,

在[0,e-1]上單調(diào)遞增,

且f()=+2,f(e-1)=e2-2>+2,

故當(dāng)x∈時(shí),f(x)max=e2-2,

因此若使原不等式恒成立只需m>e2-2即可.

(3)若存在實(shí)數(shù)b使得條件成立,

方程f(x)=x2+x+b

即為x-b+1-ln(1+x)2=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,

則g′(x)=1-=,

令g′(x)>0,得x<-1或x>1,

令g′(x)<0,得-1<x<1,

故g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,要使方程f(x)=x2+x+b在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,只需g(x)=0在區(qū)間[0,1]和[1,2]上各有一個(gè)實(shí)根,于是有2-2ln2<b≤3-2ln3,

故存在這樣的實(shí)數(shù)b,當(dāng)2-2ln2<b≤3-2ln3時(shí)滿足條件.

 

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