Question

（理）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2

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，AB=8，BC=6，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上且AF：FD=1：2．建立適當(dāng)坐標(biāo)系．
（1）求EF的長；
（2）證明：EF⊥PC．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AP

分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出F，P，C，E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求得EF長；
（2）由（1）求出向量

EF

，

PC

的坐標(biāo)，只需證明

EF

•

PC

=0；

解答：解：（1）以A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AP

分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，
由條件知：AF=2，
∴F（0，2，0），P（0，0，2

19

），C（8，6，0），從而E（4，3，

19

），
∴EF=

(4-0)2+(3-2)2+( 19 -0)2

=6．
（2）證明：

EF

=（-4，-1，-

19

），

PC

=（8，6，-2

19

），
∵

EF

•

PC

=-4×8+（-1）×6+（-

19

）×（-2

19

）=0，
∴EF⊥PC．

點(diǎn)評：本題考查空間兩點(diǎn)間的距離公式、直線與直線垂直的判定，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬中檔題．