Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AE和BF所成的角的余弦值；
（2）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（3）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

Answer 1

分析：因為是正方體，很容易建系，研究的問題主要是空間角，易用向量法求解，所以先建立空間直角坐標系．（1）分別求得A，E，B，F(xiàn)點的坐標，再求得相應向量的坐標，最后由向量的夾角公式求解．（2）設平面BDD₁與平面BFC₁的一個法向量，用數(shù)量積為零求得，然后，用這兩個法向量，利用向量的夾角公式求解．（3）設點P的坐標為：P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），則由

EP

•

n

=0得(x-

1

2

)+2y-1=0，從而建立∴|

EP

|=

(x- 1 2 )2+y2+1

=

(2y-1)2+y2+1

=

5y2-4y+2

=

5(y- 2 5 )2+ 6 5

二次函數(shù)模型求解最值．

解答：解：以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系
（1）A（1，0，0），E(

1

2

，0，1)，
B（1，1，0），F(1，

1

2

，1)，

AE

=(-

1

2

，0，1)，

BF

=(0，-

1

2

，1)，cos(

AE

，

BF

)=

1

5 4 5 4

=

4

5

；
故異面直線AE和BF所成的角的余弦值為

4

5

．
（2）平面BDD₁的一個法向量為

MA

=(

1

2

，-

1

2

，0)
設平面BFC₁的法向量為

n

=(x，y，z)

n • BF =- 1 2 y+z=0 n • BC =(x，y，z)•(-1，0，1)=-x+z=0

∴

x=z y=2z

取z=1得平面BFC₁的一個法向量

n

=(1，2，1)
cos＜

MA

，

n

＞=

MA • n

| MA || n |

=

1 2 -1

2 2 6

=-

3

6

∴所求的余弦值為

3

6

；
（3）設

EP

=(x-

1

2

，y，-1)，由

EP

•

n

=0得(x-

1

2

)+2y-1=0
即x=-2y+

3

2

，0≤x≤1，∴0≤-2y+

3

2

≤1，解得

1

4

≤y≤

3

4

∴|

EP

|=

(x- 1 2 )2+y2+1

=

(2y-1)2+y2+1

=

5y2-4y+2

=

5(y- 2 5 )2+ 6 5

∵

1

4

≤y≤

3

4

∴當y=

2

5

時，∴|

EP

|min=

30

5

當y=

3

4

時，∴|

EP

|max=

29

4

．

點評：本題主要考查異面直線所成的角，二面角及兩點間的距離問題，同時，還考查了向量法和轉化思想，是�？碱愋�，屬中檔題．