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如圖,在長方體中,、分別是棱,

上的點,,
(1)  求異面直線所成角的余弦值;
(2)  證明平面
(3)  求二面角的正弦值。
,
方法一:如圖所示,建立空間直角坐標系,

點A為坐標原點,設,依題意得,
,,
(1)  解:易得,
于是
所以異面直線所成角的余弦值為
(2)  證明:已知,,
于是·=0,·=0.因此,,,又
所以平面
(3)解:設平面的法向量,則,即
不妨令X=1,可得。由(2)可知,為平面的一個法向量。
于是,從而
所以二面角的正弦值為
方法二:(1)解:設AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=
鏈接B1C,BC1,設B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為
(2)證明:連接AC,設AC與DE交點N 因為,所以,從而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.
連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為,所以AF⊥平面A1ED
(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角
易知,所以,又所以,在
連接A1C1,A1F 在
。所以
所以二面角A1-DE-F正弦值為
練習冊系列答案
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B.l與a、b都不相交
C.l至多與a、b中一條相交
D.l至少與a、b中的一條相交

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