Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列是無窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為互不相同的正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足.

（1）若，求的值；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；

（3）在（1）的條件下，求證：數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)（按原來的順序）成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由列方程組求得與，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由為等差數(shù)列可得結(jié)合可得從而可得結(jié)果；（3）由可得對任意的， 都是中的項(xiàng).

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

因?yàn)闊o窮數(shù)列的各項(xiàng)均為互不相同的正整數(shù)，所以，

（1）由得， ，

解得，所以；

（2）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，即，

所以，解得（已舍），

此時(shí)， ；

（3）由（1）知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，

下證：對任意的， 都是中的項(xiàng)，

證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以

，其中，

又時(shí)， ，

所以對任意的， 都是中的項(xiàng)，

所以，數(shù)列中存在無窮項(xiàng)（按原來的順序）成等比數(shù)列．