(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點(diǎn)B、P的坐標(biāo);
(2)求異面直線PA與BC所成的角;
(3)若PB的中點(diǎn)為M,求證:平面AMC⊥平面PBC.
(1)解:建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系D—xyz,
∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,
∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).
由PD⊥平面ABCD,得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中,由AD=2,得.
∴P(0,0,).
(2)解:∵=(2,0,),=(-2,-3,0),
∴.
∴PA與BC所成的角為arccos.
(3)證明:∵M為PB的中點(diǎn),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2,).
∴=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,).
∵=(-1)×2+2×4+×()=0,
=1×2+1×4+×()=0,
∴,.
∴PB⊥平面AMC.
又PB面PCB,
∴平面AMC⊥平面PBC.
啟示:異面直線所成角的范圍為(0,).
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