Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB="4," BC="CD=2, " AA="2, " E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。
（1）  證明：直線(xiàn)EE//平面FCC；
（2）  求二面角B-FC-C的余弦值。 

Answer 1

（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點(diǎn)F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因?yàn)锳B="4," CD=2,且AB//CD，
所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，
又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE₁//A₁D，
所以CF₁//EE₁，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195348188478.png" style="vertical-align:middle;" />平面FCC，平面FCC，
所以直線(xiàn)EE//平面FCC.
（2）因?yàn)锳B="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OB⊥CF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC₁F,過(guò)O在平面CC₁F內(nèi)作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

略