Question

如圖，已知橢圓的長軸為AB，過點(diǎn)B的直線l與x軸垂直，直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個頂點(diǎn)，且橢圓的離心率，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系。

Answer 1

解：（1）將
整理得，
解方程組得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)為（0，1），
∴b=1，
由離心率，得a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，則，
，
∴，
∴，
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上。又A（-2，0），∴直線l的方程為，
令x=2，得。
又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切。