數(shù)列{an}滿足a1＝，前n項和Sn＝an．

(1)寫出a2、a3、a4；

(2)猜出an的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．

答案：
解析：

　　解：(1)令n＝2，∵a1＝，∴S2＝a2，

　　即a1＋a2＝3a2．∴a2＝．

　　令n＝3，得S3＝a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝．

　　令n＝4，得S4＝a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝．

　　(2)猜想an＝，下面用數(shù)學歸納法給出證明．

　　①當n＝1時，a1＝結(jié)論成立．

　�、诩僭O當n＝k時，結(jié)論成立，即ak＝，

　　則當n＝k＋1時，Sk＝ak＝，

　　Sk+1＝，

　　即Sk＋ak+1＝．

　　∴．

　　∴ak+1＝．

　　∴當n＝k＋1時結(jié)論成立．

　　由①②可知，對一切n∈N*都有an＝成立．

　　思路分析：研究數(shù)列問題，可先由前n項歸納猜想，再證明．


提示：

由遞推關系或前n項和公式求通項可求出前n項，再歸納猜想，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的通項公式．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（4）證明：對于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數(shù)列；    
（2）求{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是（　�。�

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