【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù),的值;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,求證:.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)切線的斜率,再根據(jù)該切點(diǎn)既在曲線上也在直線上,列式即可得解;
(Ⅱ)求出的解析式及其單調(diào)性,當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);
時(shí),,為減函數(shù),由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則,滿足,構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的單調(diào)性即可得出,的關(guān)系.
(Ⅰ)由求導(dǎo),得,
由切線方程知,切點(diǎn)為,
切線斜率為,
所以解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);
時(shí),,為減函數(shù).
所以時(shí),函數(shù)取得極大值.
又易知,,,
所以函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),滿足,
構(gòu)造函數(shù),
即,
.
當(dāng)時(shí),,所以為上的增函數(shù),
因?yàn)?/span>,所以,
即,即,
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,所以,而,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以由可得,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)又本l過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)M在x軸上方.
(1)若線段MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)Q,若|FQ|=8,求直線l的斜率;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,0),若點(diǎn)M恒在以FP為直徑的圓外,求x0的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形中,,,,.把沿著翻折至的位置,平面,連結(jié),如圖2.
(1)當(dāng)時(shí),證明:平面平面;
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線與相交于兩點(diǎn),點(diǎn)滿足.
(1)當(dāng)的傾斜角為時(shí),求直線的方程;
(2)試探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,為線段的中點(diǎn),且.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人,每人分別對(duì)兩個(gè)教師進(jìn)行評(píng)分,滿分均為100分,整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組:,,,,,.得到甲教師的頻率分布直方圖,和乙教師的頻數(shù)分布表:
乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
3 | |
3 | |
15 | |
19 | |
35 | |
25 |
(1)在抽樣的100人中,求對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù);
(2)從對(duì)乙教師的評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人,求2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率;
(3)如果該校以學(xué)生對(duì)老師評(píng)分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評(píng)為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn),則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師?(精確到0.1)
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