Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí)，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間。設(shè)，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）不存在保值區(qū)間.

解析試題分析：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，考查思維能力、運(yùn)算能力、分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想.第一問，先對(duì)求導(dǎo)，令，可以看出的單調(diào)區(qū)間是由0和1斷開的，現(xiàn)在所求的范圍是，所以將從0斷開，分和兩部分進(jìn)行討論，分別判斷的正負(fù)來決定的單調(diào)性；第二問，用反證法證明，先假設(shè)存在保值區(qū)間，先求出，再求導(dǎo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/3/voyie.png" style="vertical-align:middle;" />，所以可以求出最值，即方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根，下面證明函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，通過2次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性和極值確定只有一個(gè)零點(diǎn)，所以與有2個(gè)大于1的實(shí)根矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不存在保值區(qū)間.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為       4分
（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間。     5分
證明如下：
假設(shè)函數(shù)存在保值區(qū)間[a,b]. ,
因時(shí)，所以為增函數(shù)，     所以
即方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根。           7分
設(shè)，
因，，所以在上單增，又，
即存在唯一的使得                        9分
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
所以函數(shù)在處取得極小值。又因，
所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，             11分
這與方程有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根矛盾。
所以假設(shè)不成立，即函數(shù)在上不存在保值區(qū)間。   12分
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.反證法；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.