【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然對數(shù)的底數(shù).(13分)
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.

【答案】解:(Ⅰ)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,∴f′(π)=2π.
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程為:y﹣(π2﹣2)=2π(x﹣π).
化為:2πx﹣y﹣π2﹣2=0.
(Ⅱ)h(x)=g (x)﹣a f(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx)
h′(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)+ex(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)
=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna).
令u(x)=x﹣sinx,則u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函數(shù)u(x)在R上單調(diào)遞增.
∵u(0)=0,∴x>0時,u(x)>0;x<0時,u(x)<0.
(i)a≤0時,ex﹣a>0,∴x>0時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;
x<0時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減.
∴x=0時,函數(shù)h(x)取得極小值,h(0)=﹣1﹣2a.
(ii)a>0時,令h′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna)=0.
解得x1=lna,x2=0.
①0<a<1時,x∈(﹣∞,lna)時,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
x∈(lna,0)時,ex﹣elna>0,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
x∈(0,+∞)時,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=0時,函數(shù)h(x)取得極小值,h(0)=﹣2a﹣1.
當(dāng)x=lna時,函數(shù)h(x)取得極大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
②當(dāng)a=1時,lna=0,x∈R時,h′(x)≥0,∴函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增.
③1<a時,lna>0,x∈(﹣∞,0)時,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增;
x∈(0,lna)時,ex﹣elna<0,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減;
x∈(lna,+∞)時,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=0時,函數(shù)h(x)取得極大值,h(0)=﹣2a﹣1.
當(dāng)x=lna時,函數(shù)h(x)取得極小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
綜上所述:a≤0時,函數(shù)h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;x<0時,函數(shù)h(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減.
x=0時,函數(shù)h(x)取得極小值,h(0)=﹣1﹣2a.
0<a<1時,函數(shù)h(x)在x∈(﹣∞,lna)是單調(diào)遞增;函數(shù)h(x)在x∈(lna,0)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=0時,函數(shù)h(x)取得極小值,h(0)=﹣2a﹣1.當(dāng)x=lna時,函數(shù)h(x)取得極大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
當(dāng)a=1時,lna=0,函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增.
a>1時,函數(shù)h(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上單調(diào)遞增;函數(shù)h(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=0時,函數(shù)h(x)取得極大值,h(0)=﹣2a﹣1.當(dāng)x=lna時,函數(shù)h(x)取得極小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
【解析】(Ⅰ)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,可得f′(π)=2π即為切線的斜率,利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程.
(Ⅱ)h(x)=g (x)﹣a f(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx),可得h′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna).令u(x)=x﹣sinx,則u′(x)=1﹣cosx≥0,可得函數(shù)u(x)在R上單調(diào)遞增.
由u(0)=0,可得x>0時,u(x)>0;x<0時,u(x)<0.
對a分類討論:a≤0時,0<a<1時,當(dāng)a=1時,a>1時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解導(dǎo)數(shù)的加減法法則的相關(guān)知識,掌握導(dǎo)數(shù)加減法法則:,以及對導(dǎo)數(shù)的乘除法法則的理解,了解導(dǎo)數(shù)的乘除法法則:;

練習(xí)冊系列答案
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學(xué)生序號

數(shù)學(xué)成績

物理成績

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程(系數(shù)均精確到),并預(yù)測班上某位數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>分的同學(xué)的物理成績(保留到整數(shù));

(2)從物理成績不低于分的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取人,求抽到的人數(shù)學(xué)成績也不低于分的概率.

參考公式:

已經(jīng)計(jì)算出:

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C. 方程均有三個實(shí)數(shù)根

D. 當(dāng)時,函數(shù)取得極小值

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