Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

(Ⅱ)當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的極大值為，此即為最大值；(2) 。

【解析】

試題分析：(1)依題意，知的定義域?yàn)?0，＋∞)，當(dāng)時(shí)，，

……………2分

令＝0，解得．(∵)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．

所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分

(2)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040308570820314249/SYS201304030857450625962396_DA.files/image014.png">有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則．令，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040308570820314249/SYS201304030857450625962396_DA.files/image020.png">，， 所以(舍去)，，……  6分

當(dāng)時(shí)，，在(0，)上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在(，＋∞)單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，＝0，取最小值．

則既……………10分

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040308570820314249/SYS201304030857450625962396_DA.files/image020.png">，所以(*)

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040308570820314249/SYS201304030857450625962396_DA.files/image039.png">，所以方程(*)的解為，即，解得………12分

(直接看出x=1時(shí)，m=1/2但未證明唯一性的給3分)

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及方程解的情況。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況，得出方程解的存在情況。涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。