Question

【選修4-5、不等式選講】
關(guān)于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，解此不等式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|-|x-7|＜10，利用絕對(duì)值的意義可得不等式的解集．
（2）設(shè)t=|x+3|-|x-7|，則由對(duì)數(shù)定義及絕對(duì)值的幾何意義知0＜t≤10．因y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，則lgt≤1，即f（x）得最大值為1，由此可得m的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|-|x-7|＜10，
而|x+3|-|x-7|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到7對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，而2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于它到7對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
7對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到7對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于10，
可得不等式的解集為{x|2＜x＜7}．
（2）設(shè)t=|x+3|-|x-7|，則由對(duì)數(shù)定義及絕對(duì)值的幾何意義知0＜t≤10．
因y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，則lgt≤1，當(dāng)t=10，x≥7時(shí)，lgt=1，
故只需m＞1即可，
即m＞1時(shí)，f（x）＜m恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．