設(shè)已知
a
=(2cos
α+β
2
，sin
α-β
2
)，
b
=(cos
α+β
2
，3sin
α-β
2
)，其中α、β∈（0，π）．
（1）若α+β=
2π
3
，且
a
=2
b
，求α、β的值；
（2）若
a
•
b
=
5
2
，求tanαtanβ的值．
分析：（1）先化簡兩個(gè)向量的坐標(biāo)，由條件
a
=2
b
，得到sin(α-
π
3
)=0，由角的范圍可得α、β的值．
（2）由
a
•
b
=
5
2
，再利用兩角和差的三角公式得到-5sinαsinβ=cosαcosβ，從而得到tanαtanβ的值．
解答：解：（1）∵α+β=
2π
3
，∴
a
=（1，sin(α-
π
3
)），
b
=（
1
2
，3sin(α-
π
3
)），（2分）
由
a
=2
b
，得sin(α-
π
3
)=0，α∈（0，π），（4分）
∴α=
π
3
，β=
π
3
，（7分）
（2）∵
a
•
b
=2cos22cos(
α+β
2
)-3sin2
α-β
2
=1+cos(α+β)+3×
1-cos(α-β)
2

=
5
2
+cos(α+β)-
3
2
cos(α-β)（10分）
∴
5
2
+cos(α+β)-
3
2
cos(α-β)=
5
2
，即cos(α+β)=
3
2
cos(α-β)，
整理得-5sinαsinβ=cosαcosβ，（12分）
∵α、β∈A，∴tanαtanβ=-
1
5
．（14分）
點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩角和差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A：AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC．
B：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣M=
k0
01
，N=
01
10
，點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求k的值．
C：在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值．
D：設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3+b3≥
ab
(a2+b2)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=(2cosα，2sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜2π．
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求|
a
-2
b
|的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(2，0)，若
a
+2
b
=
c
，求α，β的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)已知
a
=(2cos
α+β
2
，sin
α-β
2
)，
b
=(cos
α+β
2
，3sin
α-β
2
)，其中α、β∈（0，π）．
（1）若α+β=
2π
3
，且
a
=2
b
，求α、β的值；
（2）若
a
•
b
=
5
2
，求tanαtanβ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)設(shè)A={x|x≠kπ+,k∈Z},已知a=(2cos,sin),b=(cos,3sin),其中α、β∈A,

(1)若α+β=,且a=2b,求α,β的值;

(2)若a·b=,求tanαtanβ的值.

(文)已知函數(shù)f(x)=-x2+4,設(shè)函數(shù)F(x)=

(1)求F(x)的表達(dá)式;

(2)解不等式1≤F(x)≤2;

(3)設(shè)mn＜0,m+n＞0,判斷F(m)+F(n)能否小于0?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案