Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公比q＞0且q≠1，前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)任意正整數(shù)n，命題甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列． 命題乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．求證：對(duì)于同一個(gè)正整數(shù)n，命題甲與命題乙不能同時(shí)為真命題．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，∴2（S₂+2）=（S₁+1）+（S₃+1），再由通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及a=1，可求出q的值．
（Ⅱ）先假設(shè)對(duì)于同一個(gè)正整數(shù)n，命題甲與命題乙同時(shí)為真命題，由此可得出q=1，從而得出矛盾．

解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a=1，公比q＞0且q≠1的等比數(shù)列，
∴an=qn-1，∴S₁+1=1+1=2，S₂+2=1+q+2=q+3，S₃+1=1+q+q²+1=2+q+q²，
又∵S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，∴2（S₂+2）=（S₁+1）+（S₃+1），∴2（q+3）=2+2+q+q²，化為q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1，
∵q＞0，∴q=2，∴an=2n-1．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n-1．
（Ⅱ）對(duì)任意正整數(shù)n，命題甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，?2（S_n+1+1）=S_n+S_n+2?a_n+2=a_n+1+2；
對(duì)任意正整數(shù)n，命題乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，?2（S_n+2+1）=S_n+1+S_n+3?a_n+3=a_n+2+2
若對(duì)于同一個(gè)正整數(shù)n，命題甲與命題乙同時(shí)為真命題，則a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1．
∴a1qn+2-2a1qn+1+a1qn=0，又a1qn≠0，
∴q²-2q+1=0，∴q=1與已知q≠1相矛盾．
所以對(duì)于同一個(gè)正整數(shù)n，命題甲與命題乙不能同時(shí)為真命題．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，熟練掌握以上有關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．