Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B為60°，且AB=SC=4．
（1）求證：平面SAB⊥平面ABCD；
（2）求三棱錐C-ASD的高（即以△SAD為底的三棱錐的高）．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B為60°，我們易得SCB為二面角S-CD-B的平面角，SB⊥平面ABCD，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得到平面SAB⊥平面ABCD
（2）連接AC，由（1）的結(jié)論，我們可以得到AD⊥平面SAB，即三棱錐C-ASD可以看作AD為高，三角形DAC為底，求出底面積及高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：∵DC⊥BCDC⊥SC∴DC⊥平面SCB
∴DC⊥SB且∠SCB為二面角S-CD-B的平面角，則∠SCB=60°
又∵SB⊥BC∴SB⊥平面ABCD
又∵SB?平面SAB∴平面SAB⊥平面ABCD
（2）連接AC
∵SB⊥平面ABCD∴SB⊥AD又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB∴AD⊥SA
在Rt△ASD₁中AS=

AB2+SB2

=

42+(2 3 )2

=2

7

，AD=BC=2
由V_C-SAD=V_S-ACD∴AD×AS•h=AD×CD×SB
∴h=

4 21

7

∴三棱錐C-ASD的高為

4 21

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直之間的互相轉(zhuǎn)換，是解答本題的關(guān)鍵．