【題目】已知橢圓:過(guò)點(diǎn),、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線平行于OP(O為原點(diǎn)),且與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B,與直線x=2交于點(diǎn)M(M介于A、B兩點(diǎn)之間).
(I)當(dāng)△PAB面積最大時(shí),求的方程;
(II)求證:.
【答案】(1)1;(2)(I);(II)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由可得c的值,又橢圓過(guò)定點(diǎn)P可得a,b的關(guān)系,再由a,b,c的關(guān)系求出a,b的值,進(jìn)而求出橢圓的C的方程;
(2)(I)求出OP的斜率,設(shè)直線的方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,求出弦長(zhǎng)AB,再求P到直線的距離,代入面積公式,由函數(shù)的單調(diào)性求出面積最大時(shí)的直線的方程;
(II)計(jì)算出直線PA,PB的斜率之和為0,可得PM為∠APB的角平分線,由角平分線的性質(zhì)可證.
(1)因?yàn)?/span>,,
所以
所以,
由于橢圓過(guò)點(diǎn),所以,,解得:,
所以橢圓的方程為:1;
(2)(I)因?yàn)?/span>
所以可設(shè)直線的方程為,設(shè),,
聯(lián)立直線與橢圓的方程,整理可得,
,即,
,,
所以弦長(zhǎng),
P到直線AB的距離為:,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),由M介于A、B之間可得
這時(shí)直線的方程為;
(II),
將,,,代入可得,
所以直線PA,PB關(guān)于直線x=2對(duì)稱,即PM為∠APB的角平分線,
由角平分線的性質(zhì)可得,
即證得:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值.
(2),若不等式在上恒成立,求的最大值.
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>?如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出以下四個(gè)命題:
①的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;
②在上是減函數(shù);
③是周期函數(shù);
④在上恰有兩個(gè)零點(diǎn).
其中真命題的序號(hào)是______.(請(qǐng)寫出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)在(1)中,設(shè)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線,設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取最大值時(shí),求此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四面體ABCD中,△ABC和△BCD均是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,且AD是該球的直徑,則四面體ABCD的體積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則關(guān)于的方程()的實(shí)根個(gè)數(shù)( )
A.B. 或C.或 D.或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求的極坐標(biāo)方程;
(2)射線的極坐標(biāo)方程為,若分別與交于異于極點(diǎn)的兩點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果(以下簡(jiǎn)稱水果),購(gòu)入價(jià)為300元/袋,并以360元/袋的價(jià)格售出,若前8小時(shí)內(nèi)所購(gòu)進(jìn)的水果沒(méi)有售完,則批發(fā)商將沒(méi)售完的水果以220元/袋的價(jià)格低價(jià)處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),2小時(shí)內(nèi)完全能夠把水果低價(jià)處理完,且當(dāng)天不再購(gòu)入).該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量,統(tǒng)計(jì)了100天水果在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量,制成如下頻數(shù)分布條形圖.
記表示水果一天前8小時(shí)內(nèi)的銷售量,表示水果批發(fā)商一天經(jīng)營(yíng)水果的利潤(rùn),表示水果批發(fā)商一天批發(fā)水果的袋數(shù).
(1)若,求與的函數(shù)解析式;
(2)假設(shè)這100天中水果批發(fā)商每天購(gòu)入水果15袋或者16袋,分別計(jì)算該水果批發(fā)商這100天經(jīng)營(yíng)水果的利潤(rùn)的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),每天應(yīng)購(gòu)入水果15袋還是16袋?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為4.且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè),,,過(guò)B點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓E于另一點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)Q,直線AM與直線相交于點(diǎn)P.證明:(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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