設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,x∈[0,2].
(1)若f(x)在[1,2]上不單調(diào),求a的取值范圍;
(2)令M(a)為f(x)的最大值,求M(a)的表達(dá)式.
分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到若f(x)在[1,2]上不單調(diào),只要極值點(diǎn)出現(xiàn)在這個(gè)區(qū)間就可以,得到1<a<2.
(2)根據(jù)定義的M(a)為f(x)的最大值,寫出不同區(qū)間上的表示式,根據(jù)不同區(qū)間上的表示式,寫出分段函數(shù).
解答:解:由于f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),
注意到a>1,所以f(x)在(0,1),(a,+∞)上遞增,(1,a)上遞減.
(1)根據(jù)f(x)的單調(diào)性,若f(x)在[1,2]上不單調(diào),則1<a<2;
(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性,下面按a與2的大小關(guān)系分類:
①當(dāng)1<a≤2時(shí),M(a)=maxf(1),
f(2)=max{3a-1,4}=
4,1<a≤
5
3
3a-1
5
3
<a≤2.
;
②當(dāng)a>2時(shí),M(a)=f(1)=3a-1.
綜上所述,M(a)═
4,1<a≤
5
3
3a-1,a>
5
3
.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,最值,本題解題的關(guān)鍵是看清題干中所給的a大于1的條件,寫出正確的單調(diào)區(qū)間.
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設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為
12
,則a=
 

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1
2
,則a等于(  )

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1
2
(ax-a-x),則使f-1(x)>1成立的x的取值范圍是( 。

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