Question

【題目】已知f（x）=x2+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x=﹣1時(shí)函數(shù)y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2+bx+c為偶函數(shù)，故f（﹣x）=f（x）即有

（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c解得b=0

又曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，5），得22+c=5，有c=1

∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a從而g′（x）=3x2+2ax+1，

∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g(shù)′（x）=0有實(shí)數(shù)解．即3x2+2ax+1=0有實(shí)數(shù)解．

此時(shí)有△=4a2﹣12≥0解得

a∈（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）所以實(shí)數(shù)a的取值范圍：a∈（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

（2）解：因x=﹣1時(shí)函數(shù)y=g（x）取得極值，故有g(shù)′（﹣1）=0即3﹣2a+1=0，解得a=2

又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=﹣1，x2=

當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上為增函數(shù)

當(dāng) 時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣ ）上為減函數(shù)

當(dāng)x∈（﹣ ）時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）在 上為增函數(shù)

【解析】（1）據(jù)偶函數(shù)的定義f（﹣x）=f（x）求出b值，將點(diǎn)（2，5）代入得c值，據(jù)導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，

有g(shù)′（x）=0有實(shí)數(shù)解，由△≥0得范圍．（2），函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即，以及對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．