(2010•重慶一模)對于數(shù)列{an},若存在一個常數(shù)M,使得對任意的n∈N*,都有|an|≤M,則稱{an}為有界數(shù)列.
(Ⅰ)判斷an=2+sinn是否為有界數(shù)列并說明理由.
(Ⅱ)是否存在正項等比數(shù)列{an},使得{an}的前n項和Sn構(gòu)成的數(shù)列{Sn}是有界數(shù)列?若存在,求數(shù)列{an}的公比q的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)判斷數(shù)列an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
(n≥2)
是否為有界數(shù)列,并證明.
分析:(Ⅰ)求an=2+sinn的值域為1≤an=2+sinn≤3,根據(jù)有界數(shù)列的定義可以判斷;
(Ⅱ)對公比q進(jìn)行討論,當(dāng)0<q<1時,Sn=
a1(1-qn)
1-q
a1
1-q
,易知正數(shù)數(shù)列{Sn}滿足|Sn|<
a1
1-q
,即為有界數(shù)列;當(dāng)q=1時,Sn=na1→+∞,故為無界數(shù)列;當(dāng)q>1時,Sn=a1+a2+…+an>na1→+∞,此時為無界數(shù)列,從而得結(jié)論.
(Ⅲ){an}為無界數(shù)列,利用放縮法,轉(zhuǎn)換為利用等比數(shù)列求和可證.
解答:解:(Ⅰ)1≤an=2+sinn≤3,
故{an}為有界數(shù)列…(2分)
(Ⅱ)設(shè)公比為q,當(dāng)0<q<1時,Sn=
a1(1-qn)
1-q
a1
1-q
,
則正數(shù)數(shù)列{Sn}滿足|Sn|<
a1
1-q
,即為有界數(shù)列;
當(dāng)q=1時,Sn=na1→+∞,故為無界數(shù)列;
當(dāng)q>1時,Sn=a1+a2+…+an>na1→+∞,此時為無界數(shù)列.
綜上:當(dāng)且僅當(dāng)0<q<1時,{Sn}為有界數(shù)列…(6分).
(Ⅲ){an}為無界數(shù)列,事實上an=
1
3
+
1
5
+
1
7
+…+
1
2n-1
1
4
+
1
6
+
1
8
+…+
1
2n

2an
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
2n-1
+
1
2n

2a2n
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
2•2n
=(
1
3
+
1
4
)+(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)+(
1
9
+…+
1
16
)+…+(
1
2n+1
+
1
2n+2
+…+
1
2n+2n
)
1
4
×2+
1
8
×4+
1
16
×8+…+
1
2n×2
×2n=
n
2

a2n
n
4

故當(dāng)n無限增大時an也無限增大,
所以{an}無界…(12分).
點評:本題以數(shù)列為載體,考查新定義,關(guān)鍵是理解新定義,對等比數(shù)列應(yīng)注意求和公式的使用條件.
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ax

(I)若函數(shù)f(x),g(x)在[1,2]上都是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)a=1時,設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)g(x),若h(x)在(0,+∞)內(nèi)的最大值為-4,求實數(shù)m的值.

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