Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，Sn=2n﹣an（n∈N*）．
（1）計(jì)算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項(xiàng)公式an；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1．

當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2= ．

當(dāng)n=3時(shí)，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3= ．

當(dāng)n=4時(shí)，a1+a2+a3+a4=S4=2×4﹣a4，∴a4= ，

由此猜想an= （n∈N*）

（2）解：證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，結(jié)論成立．

②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N*）時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

那么n=k+1（k≥1且k∈N*）時(shí)，ak+1=Sk+1﹣Sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1．

∴2ak+1=2+ak=2+ = ．

∴ak+1= ，

由①②可知，對(duì)n∈N*，an= 都成立

【解析】（1）根據(jù)Sn=2n﹣an ， 利用遞推公式，求出a2 ， a3 ， a4 ． （2）總結(jié)出規(guī)律求出an ， 然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．