Question

（2013•懷化三模）PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：

PM2.5日均值（微克/立方米）	[25，35]	（35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
頻數(shù)	3	1	1	1	1	3

（Ⅰ）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（Ⅱ）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以這10天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量狀況，記一年（按366天算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為η，求η的數(shù)學(xué)期望（視頻率為概率）．

Answer 1

分析：（I）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，設(shè)“達(dá)到一級(jí)”為事件A，則P（A）=

3

10

．若隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率，利用二項(xiàng)分布即可得出P=

C

1 3

×

3

10

×(1-

3

10

)2．
（II）利用“超幾何分布”即可得出；
（III）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，只有4天達(dá)到二級(jí)，因此這10天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率P=

3+4

10

=

7

10

．利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（I）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，設(shè)“達(dá)到一級(jí)”為事件A，則P（A）=

3

10

．
∴隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率P=

C

1 3

×

3

10

×(1-

3

10

)2=

294

1000

．
（II）由題意可得ξ=0，1，2，3．
則P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，P（ξ=1）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

21

120

，P（ξ=2）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

63

120

，P（ξ=3）=

C 3 7

C 3 10

=

35

120

．
所以其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	1 120	21 120	63 120	35 120

數(shù)學(xué)期望為：E（ξ）=0×

1

120

+1×

21

120

+2×

63

120

+3×

35

120

=

21

10

．
（III）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，只有4天達(dá)到二級(jí)，因此這10天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率P=

3+4

10

=

7

10

．
因此一年（按366天算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為η，則Eη=366×

7

10

=256.2天．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)分布、“超幾何分布”及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于基礎(chǔ)題．