【題目】

如圖4，在四棱錐中，底面是矩形，

平面，，,于點(diǎn)．

(1) 求證：；

(2) 求直線與平面所成的角的余弦值.

【答案】

【解析】

試題(1)要證明線線垂直，可考慮先證明直線和平面垂直，該題先證明平面，從而得到，又，故可證明平面，進(jìn)而證明；（2）求直線和平面所成的角，需先找后求，同時(shí)要有必要的證明過(guò)程，該題中直線和平面所成的角不易找到，故可采取轉(zhuǎn)化法，先求點(diǎn)到平面的距離，再利用，求得所求角的正弦值，進(jìn)而求余弦值．故求點(diǎn)到平面的距離成為解題關(guān)鍵，可利用等體積轉(zhuǎn)化法進(jìn)行．

試題解析：(1)證明：∵平面，平面,∴.

∵，平面,平面,

∴平面.

∵平面

∴，

∵,,平面,

平面,∴平面.

∵平面,∴.

（2）解：由（1）知，，又，

則是的中點(diǎn),在Rt△中, 得，

在Rt△中,得,

∴.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，

得.解得，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

∴.

∴直線與平面所成的角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從袋牛奶中抽取袋牛奶進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽樣時(shí)，先將袋牛奶按、、、進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第行第列開(kāi)始向右讀，請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先檢測(cè)的袋牛奶的編號(hào)_____________，_____________，_____________，_____________，_____________.（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第行至第行）

8842 1753 3157 2455 0688 7704 7476 7217 6335 0258 3921 2067 64

6301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 79

3321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】電視傳媒為了解某市100萬(wàn)觀眾對(duì)足球節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾每周平均收看足球節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖，將每周平均收看足球節(jié)目時(shí)間不低于1.5小時(shí)的觀眾稱為“足球迷”， 并將其中每周平均收看足球節(jié)目時(shí)間不低于2.5小時(shí)的觀眾稱為“鐵桿足球迷”．

（1）試估算該市“足球迷”的人數(shù)，并指出其中“鐵桿足球迷”約為多少人；

（2）該市要舉辦一場(chǎng)足球比賽，已知該市的足球場(chǎng)可容納10萬(wàn)名觀眾．根據(jù)調(diào)查，如果票價(jià)定為100元/張，則非“足球迷”均不會(huì)到現(xiàn)場(chǎng)觀看，而“足球迷”均愿意前往現(xiàn)場(chǎng)觀看．如果票價(jià)提高元/張，則“足球迷”中非“鐵桿足球迷”愿意前往觀看的人數(shù)會(huì)減少，“鐵桿足球迷”愿意前往觀看的人數(shù)會(huì)減少．問(wèn)票價(jià)至少定為多少元/張時(shí)，才能使前往現(xiàn)場(chǎng)觀看足球比賽的人數(shù)不超過(guò)10萬(wàn)人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問(wèn)題，擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”.為了解人們對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15~65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；

（2）若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人.

①抽到1人是45歲以下時(shí)，求抽到的另一人是45歲以上的概率.

②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：

，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且與軸有唯一的交點(diǎn).

（1）求的表達(dá)式；

（2）設(shè)函數(shù)，若上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，記此函數(shù)的最小值為，求的解析式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱和底面垂直）的所有棱長(zhǎng)都為2，為的中點(diǎn)，O為中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了迎接旅游旺季的到來(lái)，少林寺設(shè)置了一個(gè)專門(mén)安排旅客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很嚴(yán)重，為了控制經(jīng)營(yíng)成本，減少浪費(fèi)，就想適時(shí)調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)客棧入住的游客人數(shù)會(huì)呈現(xiàn)周期性的變化，并且有以下規(guī)律：

①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；

②入住客棧的游客人數(shù)在月份最少，在月份最多，相差約人；

③月份入住客棧的游客約為人，隨后逐月增加直到月份達(dá)到最多.

（1）試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；

（2）請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備份以上的食物？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圈上一點(diǎn)（異于，），點(diǎn)在線段上，且滿足.已知，，設(shè).

（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；

（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）令函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，判斷與的大小，并說(shuō)明理由.

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