設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*).其中m為實常數(shù),m≠-3且m≠0.
(1)求證:{an}是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{an}的公比滿足q=f(m)且b1=a1,bn=
3
2
f(bn-1)(n∈N*,n≥2)
,求{bn}的通項公式;
(3)若m=1時,設(shè)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan(n∈N*),是否存在最大的正整數(shù)k,使得對任意n∈N*均有Tn
k
8
成立,若存在求出k的值,若不存在請說明理由.
分析:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,由此能夠證明{an}是等比數(shù)列.
(2)由b1=a1=1,q=f(m)=
2m
m+3
,n∈N*
,知n≥2時,bn=
3
2
f(bn-1)=
3
2
2bn-1
bn-1+3
,所以{
1
bn
}
是以1為首項,
1
3
為公差的等差數(shù)列,由此能求出bn=
3
n+2

(3)由Tn=1+2(
1
2
)1+3(
1
2
)2+…+n(
1
2
)n-1
,知
1
2
Tn=
1
2
+2(
1
2
)2+3(
1
2
)3+…+n(
1
2
)n
,由此能求出k的最大值.
解答:解:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,
得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,
兩式相減,得(3+m)an+1=2man(m≠-3),
an+1
an
=
2m
m+3

∵m是常數(shù),且m≠-3,m≠0,
2m
m+3
為不為0的常數(shù),
∴{an}是等比數(shù)列.
(2)由b1=a1=1,q=f(m)=
2m
m+3
,n∈N*
,
且n≥2時,bn=
3
2
f(bn-1)=
3
2
2bn-1
bn-1+3
,
bnbn-1+3bn=3bn-1
1
bn
-
1
bn-1
=
1
3
,
{
1
bn
}
是以1為首項,
1
3
為公差的等差數(shù)列,
1
bn
=1+
n-1
3
=
n+2
3

bn=
3
n+2

(3)由已知Tn=1+2(
1
2
)1+3(
1
2
)2+…+n(
1
2
)n-1
,
1
2
Tn=
1
2
+2(
1
2
)2+3(
1
2
)3+…+n(
1
2
)n

相減得:
1
2
Tn=1+
1
2
+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-1-n(
1
2
)n=
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
-n(
1
2
)n
,
Tn=4-
n+2
2n-1
,
Tn+1-Tn=(4-
n+3
2n
)-(4-
n+2
2n-1
)=
n+1
2 n
>0
,
Tn遞增,
(Tn)min=T1=4-
3
20
=1
,
Tn
k
8
對n∈N*均成立,
k
8
<(Tn)min=1
,
又k∈N*,∴k最大值為7.
點評:本題考查數(shù)列的綜合運用,解題時要認真審題,仔細解答,合理地運用錯位相減法進行證明.注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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,
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