Question

某廠家擬在2010年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元（）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件。已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品的年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）。
（1）將2010年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

解：（1）由題意知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=……2分
每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5× （萬(wàn)元），…………3分
∴利潤(rùn)函數(shù)y=x[1.5× ]-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3- ）-m
="-[" +（m+1）]+29（m≥0）．………………7分
（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)y="-[" +（m+1）]+29（m≥0），
所以，當(dāng)m≥0時(shí)， +（m+1）≥2 =8，…………11分
∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng) =m+1，即m=3（萬(wàn)元）時(shí)，ymax=21（萬(wàn)元）．……13分
所以，該廠家2010年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬(wàn)元

略