Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為， 為橢圓的右焦點(diǎn)， ， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)， 為橢圓上一點(diǎn)， 的中點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)作，交直線于點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題中條件要得兩個(gè)等式，再由橢圓中的等式關(guān)系可得的值，求得橢圓的方程；

（2）可設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以直線的方程是 ．令，得, 得直線的斜率是 ,問(wèn)題得解.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為．依題意，得， ．

解得 ， ．所以 ，所以橢圓的方程是 ．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ．設(shè)的中點(diǎn)， ．

設(shè)直線的方程為： ，將其代入橢圓方程，整理得

，所以 ．所以 ， ，

即 ．所以直線的斜率是 ，

所以直線的方程是 ．令，得．

由，得直線的斜率是 ，

因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為，所以直線．

解法二：由（Ⅰ）得 ．設(shè)，其中．

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，所以 ．所以直線的斜率是 ，所以直線的方程是 ．令，得．

由，得直線的斜率是 ．因?yàn)橹本�的斜率是 ，所以 ，所以 ．因?yàn)?，所以 ．

點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．