Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于A、B的兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M．
（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），試用x₁，x₂表示點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（Ⅱ）

FM

•

AB

是否為定值，如果是，請(qǐng)求出定值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（III）設(shè)△ABM的面積為S，試確定S的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，得出兩點(diǎn)處切線的斜率，寫出兩直線的點(diǎn)斜式方程，求出其交點(diǎn)即得；
（Ⅱ）由題意，表示出兩向量），

FM

=（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

-

p

2

），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，

x2 2-x1 2

2p

），的坐標(biāo)，求其內(nèi)積即可．
（III）根據(jù)幾何位置關(guān)系表示出三角形的面積，再根據(jù)基本不等式求出最值及最值成立的條件即可．

解答：解：由x²=2py，得y=

x2

2p

，故y′=

x

p

，切線AM的方程為y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x1 2

2p

①，
切線BM的方程為：y-y2=

x2

p

(x-x2)即y=

x2

p

x-

x2 2

2p

②
由①②聯(lián)立解得M的坐標(biāo)是（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
（2）F（0，

p

2

），

FM

=（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

-

p

2

），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，

x2 2-x1 2

2p

），

FM

•

AB

=

x2 2-x1 2

2

+（

x2x1

2p

-

p

2

）

x2 2-x1 2

2p

③
由A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線得k_AF=k_BF∴

y1- p 2

x1

=

y2- p 2

x2

，將y₁=

x1 2

2p

，y2=

x2 2

2p

代入整理得x₁x₂=-p²④，
把④代入③得

FM

•

AB

=0
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面積為S=

1

2

AB×FM=

1

2

（y1+

p

2

+y2+

p

2

，

( x1+x2 2 )2+( x2x1 2p - p 2 )2

）=

1

2

（

x1 2+x2 2

2p

+p）

x1 2+x2 2 4 + p2 2

∵x₁²+x₂²≥2|x₁x₂|
∴x₁²+x₂²≥2p²（當(dāng)且僅當(dāng)x₁=-x₂時(shí)等號(hào)成立）
∴S的最小值是

1

2

p2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，本部分題由于是符號(hào)運(yùn)算，運(yùn)算量較大，做題時(shí)要注意變形準(zhǔn)確、正確，免得一誤致全誤勞而無(wú)功，求解此類題的關(guān)鍵是把幾何位置關(guān)系與解析幾何中的相關(guān)方程建立起聯(lián)系靈活轉(zhuǎn)化．