Question

【題目】求具有如下性質的質數的最大值：存在1,2，，的兩個排列（可以相同）與，使被除所得的余數互不相同.

Answer 1

【答案】2

【解析】

先證明引理.

引理（威爾遜定理）對任何質數，有， ①

引理的證明：當時，式①顯然成立.

當時，我們證明：對任何，必存在，使.

實際上，對，有.

從而，構成模的完系.

于是，必存在，使，

顯然，否則，矛盾

此外，如，則由，得，與矛盾.

如果，則由，得，與矛盾.

如果，由，得，

所以，，但矛盾.

因此，，且.

由此可知，乘積的各個因數可以配成對，每對中兩個數的積模的余數為1.

從而，.

所以，.

現(xiàn)在解決原題.

不妨設，并設.

若，此時，.

又被除的余數互不相同.

所以， 被除的余數分別為.

則.

但另一方面，與是的兩個排列，

所以

，

于是，. ②

若，則與式②矛盾，所以，，

又當時，令

此時，，.

所以，條件，故.