Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的最下正周期為π，且點(diǎn)P（ ，2）是該函數(shù)圖象的一個人最高點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣ ，0]，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）把函數(shù)y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜ ）個單位，得到函數(shù)y=g（x）在[0， ]上是單調(diào)增函數(shù)，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由題意可得，A=2， =π，

∴ω=2．

∵再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（ ，2），可得2sin（2× +φ）=2，結(jié)合|φ|＜ ，可得ω= ，

∴f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：∵x∈[﹣ ，0]，

∴2x+ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣1， ]，可得：f（x）=2sin（2x+ ）∈[﹣2，1]．

（3）解：把函數(shù)y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜ ）個單位，

得到函數(shù)y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+ ]=2sin（2x﹣2θ+ ），

∴令2kπ﹣ ≤2x﹣2θ+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ+θ﹣ ≤x≤kπ+θ+ ，k∈Z，

可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+θ﹣ ，kπ+θ+ ]，k∈Z，

∵函數(shù)y=g（x）在[0， ]上是單調(diào)增函數(shù)，

∴ ，

∴解得： ，k∈Z，

∵0＜θ＜ ，

∴當(dāng)k=0時，θ∈[ ， ]．

【解析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．（2）由x的范圍可求2x+ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域．（3）利用三角函數(shù)平移變換規(guī)律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+ ），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而可得 ，k∈Z，結(jié)合范圍0＜θ＜ ，可求θ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，掌握圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象即可以解答此題．