已知橢圓Γ的方程為,A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)為Γ的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M滿(mǎn)足,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線(xiàn)l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn),交直線(xiàn)l2:y=k2x于點(diǎn)E.若,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,如何構(gòu)作過(guò)PQ中點(diǎn)F的直線(xiàn)l,使得l與橢圓Γ的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿(mǎn)足?令a=10,b=5,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-8,-1),若橢圓Γ上的點(diǎn)P1、P2滿(mǎn)足,求點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)由題意知M是B(0,-b)和Q(a,0)的中點(diǎn),所以
(2)由題設(shè)條件得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,所以a2k12+b2-p2>0是CD的中點(diǎn);
(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi),可以求得直線(xiàn)OF的斜率k2,由知F為P1P2的中點(diǎn),由此可得P1(-6,-4)、P2(8,3).
解答:解:(1)∵,
∴M是B(0,-b)和Q(a,0)的中點(diǎn),

(2)由方程組
消y得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,
因?yàn)橹本(xiàn)l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn),
所以△>0,即a2k12+b2-p2>0,
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
,
由方程組,消y得方程(k2-k1)x=p,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180430791397088/SYS201310241804307913970083_DA/7.png">,
所以,
故E為CD的中點(diǎn);
(3)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,
所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi),可以求得直線(xiàn)OF的斜率k2,
知F為P1P2的中點(diǎn),
根據(jù)(2)可得直線(xiàn)l的斜率,
從而得直線(xiàn)l的方程.,
直線(xiàn)OF的斜率
直線(xiàn)l的斜率,
解方程組,消y:x2-2x-48=0,
解得P1(-6,-4)、P2(8,3),或P1(8,3)、P2(-6,-4),.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),B是它的下頂點(diǎn),F(xiàn)是其右焦點(diǎn),BF的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓及其右準(zhǔn)線(xiàn)分別交于P、Q兩點(diǎn),若點(diǎn)P恰好是BQ的中點(diǎn),則此橢圓的離心率是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,點(diǎn)A、B分別為其左、右頂點(diǎn),點(diǎn)F1、F2分別為其左、右焦點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AF1為半徑作圓A;以點(diǎn)B為圓心,OB為半徑作圓B;若直線(xiàn)l: y=-
3
3
x
被圓A和圓B截得的弦長(zhǎng)之比為
15
6
;
(1)求橢圓C的離心率;
(2)己知a=7,問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使得過(guò)P點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)被圓A和圓B截得的弦長(zhǎng)之比為
3
4
;若存在,請(qǐng)求出所有的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•泉州模擬)已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
2
=1 (a>0)
,其焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=
2
2

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)滿(mǎn)足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M,N是橢圓C上的點(diǎn),直線(xiàn)OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:x02+2
y
2
0
為定值.
(3)在(2)的條件下,問(wèn):是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1
,雙曲線(xiàn)C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線(xiàn)C2的方程;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線(xiàn)l與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)A、B,且滿(mǎn)足|OA|2+|OB|2>|AB|2,(其中O為原點(diǎn)),求l斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1
,雙曲線(xiàn)C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線(xiàn)C2的方程;
(2)若直線(xiàn)l:y=kx+
2
與雙曲線(xiàn)C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
>2
(其中O為原點(diǎn)),求k的范圍.
(3)試根據(jù)軌跡C2和直線(xiàn)l,設(shè)計(jì)一個(gè)與x軸上某點(diǎn)有關(guān)的三角形形狀問(wèn)題,并予以解答(本題將根據(jù)所設(shè)計(jì)的問(wèn)題思維層次評(píng)分).

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