Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且an是Sn與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{bn}中，b1=1，點(diǎn)P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上．
（1）求a1和a2的值；
（2）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)an和bn；
（3）設(shè)cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an是Sn與2的等差中項(xiàng)

∴Sn=2an﹣2∴a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2﹣2，解得a2=4

（2）解：∵Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

又Sn﹣Sn﹣1=an，n≥2

∴an=2an﹣2an﹣1，

∵an≠0，

∴ =2（n≥2），即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∵a1=2，∴an=2n

∵點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，∴bn﹣bn+1+2=0，

∴bn+1﹣bn=2，即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，又b1=1，∴bn=2n﹣1

（3）解：∵cn=（2n﹣1）2n

∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，

∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1

因此：﹣Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）2n+1，

即：﹣Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1，

∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）先利用an是Sn與2的等差中項(xiàng)把1代入即可求a1 ， 再把2代入即可求a2的值；（2）利用Sn=2an﹣2，可得Sn﹣1=2an﹣1﹣2，兩式作差即可求數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，找到規(guī)律即可求出通項(xiàng)；對(duì)于數(shù)列{bn}，直接利用點(diǎn)P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上，代入得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列即可求通項(xiàng)；（3）先把所求結(jié)論代入求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)，再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求出其各項(xiàng)的和．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．