定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足下列條件:
①存在常數(shù)a(0<a<1),使得f(a)=1;②對(duì)任意實(shí)數(shù)m,當(dāng)x∈R+時(shí),有f(xm)=mf(x).
(1)求證:對(duì)于任意正數(shù)x,y,f(xy)=f(x)+f(y);
(2)證明:f(x)在正實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減;
(3)若不等式f(loga2(4-x)+2)-f(loga(4-x)8)≤3恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)分別取x=am,y=an,再結(jié)合已知條件中的等式,化簡可以得出f(xy)=f(x)+f(y);
(2)設(shè)兩個(gè)正數(shù)x1,x2,且x1>x2,通過構(gòu)造x1=x2t(t>1),t=aα(α<0),再用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證出
f(x1)-f(x2)=αf(a)=α<0,可得函數(shù)在在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
(3)先利用(1)的結(jié)論,將不等式化為f(
t2+2
8t
)≤f(a3)
,再根據(jù)(2)利用函數(shù)單調(diào)增的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為不等式,∴
t2+2
8t
a3
對(duì)于t>0恒成立,實(shí)數(shù)a的范圍就不難得出了.
解答:解:(1)證明:∵x,y均為正數(shù),且0<a<1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知,總有實(shí)數(shù)m,n使得x=am,y=an
于是f(xy)=f(aman)=f(am+n)=(m+n)f(a)=m+n,…(2分)
又f(x)+f(y)=f(am)+f(an)=mf(a)+nf(a)=m+n,∴f(xy)=f(x)+f(y)(5分)
(2)證明:任設(shè)x1,x2∈R+,x1>x2,可令x1=x2t(t>1),t=aα(α<0)…(7分)
則由(1)知f(x1)-f(x2)=f(x2t)-f(x2)=f(x2)+f(t)-f(x2)=f(t)=f(aα)=αf(a)=α<0,
即f(x1)<f(x2).∴f(x)在正實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減;
(3)令loga(4-x)=t,原不等式化為f(t2+2)-f(8t)≤3,其中t>0.∵f(x)-f(y)=f(x)+f(y-1)=f(
x
y
)
且f(a)=1(0<a<1),
不等式可進(jìn)一步化為f(
t2+2
8t
)≤f(a3)
,….(12分)
又由于單調(diào)遞減,∴
t2+2
8t
a3
對(duì)于t>0恒成立.…(13分)
t2+2
8t
=
1
8
((
t
-
2
t
)
2
+2
2
)≥
1
2
2
,
且當(dāng)t=
2
時(shí)(
t2+2
8t
)min=
1
2
2
.…..(16分)
a3
1
2
2
,又0<a<1,終得0<a<
2
2
.…..(18分)
點(diǎn)評(píng):本題以抽象函數(shù)為依托,考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義解函數(shù)值不等式,屬于難題.解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法,在解題過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,在轉(zhuǎn)化過程中還要注意函數(shù)的定義域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+4ax+1,g(x)=6a2lnx+2b+1,其中a>0.
(Ⅰ)設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),證明:若a≥
3
-1
,則對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2
h(x2)-h(x1)
x2-x1
>8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax
,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(Ⅰ)用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)求證:f(x)≥g(x)(x>0).

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12
x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(Ⅰ)用a表示b,并求b的最大值;
(Ⅱ)求證:f(x)≥g(x)  (x>0).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的極值.

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