【題目】已知函數(shù)的定義域為,對任意實數(shù),都有.
(1)若, ,且,求, 的值;
(2)若為常數(shù),函數(shù)是奇函數(shù),
①驗證函數(shù)滿足題中的條件;
②若函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1) 解得, ;(2) ①見解析;② 當時,函數(shù)只有1零點;
當或時,函數(shù)有3零點;當是,函數(shù)有5零點.
【解析】試題分析:(1)由題意,取,得,再取,得,
即函數(shù)在內為奇函數(shù),代入化簡即可求解的值.
(2)由函數(shù)是奇函數(shù),得,得出的解析式,進而求解.
再由,得,令,則,作出圖象,進而分類討論,求得函數(shù)零點的個數(shù).
試題解析:
(1)對題中條件取,得.
再取,得,則,
即函數(shù)在內為奇函數(shù).
所以,
又.
解得, .
(2)由函數(shù)是奇函數(shù),得,則.
此時,滿足函數(shù)是奇函數(shù),且有意義.
①由,得,則對任意實數(shù),
有 ,
,
所以.
②由,得,令,則.
作出圖象
由圖可知,當時,只有一個,對應有3個零點;
當時,只有一個,對應只有一個零點;
當時, ,此時, , .
由
得在時, ,三個分別對應一個零點,共3個.
在時, ,三個分別對應1個,1個,3個零點,共5個.
綜上所述,當時,函數(shù)只有1零點;
當或時,函數(shù)有3零點;
當是,函數(shù)有5零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【湖南省2017屆高三長郡中學、衡陽八中等十三校重點中學第一次聯(lián)考數(shù)學(理)】
已知函數(shù).
(1)當時,試求函數(shù)圖像過點的切線方程;
(2)當時,若關于的方程有唯一實數(shù)解,試求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個極值點,且不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為,以橢圓的左頂點為圓心作圓: ,設圓與橢圓交于點與點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最小值,并求此時圓的方程;
(3)設點是橢圓上異于, 的任意一點,且直線分別與軸交于點, 為坐標原點,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性;
(2)若曲線僅在兩個不同的點,處的切線都經過點,其中,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據監(jiān)測,服藥后每毫升血液中的含藥量(微克)與時間(小時)之間的關系近似滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出服藥后與之間的函數(shù)關系式;
(2)據進一步測定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時,治療疾病有效.求服藥一次治療疾病的有效時間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示是某企業(yè)2010年至2016年污水凈化量(單位: 噸)的折線圖.
注: 年份代碼1-7分別對應年份2010-2016.
(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合和的關系,請用相關系數(shù)加以說明;
(2)建立關于的回歸方程,預測年該企業(yè)污水凈化量;
(3)請用數(shù)據說明回歸方程預報的效果.
附注: 參考數(shù)據:;
參考公式:相關系數(shù),回歸方程中斜率和截距的最;
二乘法估汁公式分別為;
反映回歸效果的公式為:,其中越接近于,表示回歸的效果越好.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在處有最小值為0.
(1)求的值;
(2)設,
①求的最值及取得最值時的取值;
②是否存在實數(shù),使關于的方程在上恰有一個實數(shù)解?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一塊扇形鐵皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下來一個扇環(huán)形ABCD,作圓臺容器的側面,并且在余下的扇形OCD內能剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺容器的下底面(大底面).試求:
(1)AD應取多長?
(2)容器的容積為多大?
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