Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)分類討論，確定或解的區(qū)間，即可求出結(jié)論；

（2）求，由，得出或，有三個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)異于2的實(shí)根.不妨設(shè)，，根據(jù)（1）得，且，從而，由零點(diǎn)存在定理可得，又時(shí)，，求出實(shí)數(shù)的取值范圍是.要證，只需證明，利用，是的兩個(gè)實(shí)根，可得，.令，則，，，只需證明，即證，，令，，利用求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，最值,即可證明結(jié)論.

解：（1），

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由已知得，，

令，得或.

要使函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，須有三個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

從而有兩個(gè)異于2的實(shí)根.不妨設(shè)，，

由（1）知：，且，從而.

而當(dāng)時(shí)，，，；

由零點(diǎn)存在定理知.

又當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

要證，只需證.①

因?yàn)?/span>，是的兩個(gè)實(shí)根，且，

所以，從而，所以，

令，則，，.

要證①式成立，只需證，即證，.

令，，則，所以在遞增，

所以，所以.命題得證.