Question

【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn+2＝2an，n∈N*.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令bn，設(shè)數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為Tn，若Tn，求n的最小值.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n（2）10

【解析】

（1）由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和與項(xiàng)滿足Sn+2＝2an，n∈N*.消掉Sn可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，進(jìn)而求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）由（1）得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和算出Tn＝1，再由Tn，解整數(shù)不等式可求n的最小值.

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，S1+2＝2a1，解得a1＝2，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1+2＝2an﹣1，∴Sn+2﹣（Sn﹣1+2）＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1

∴2，則{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

故an＝2n.

（2）由（1）可得bn

∴Tn＝b1+b2+…+bn＝（1）+（）+…+（）＝1，

又Tn，即1，

∴2n+1＞2021，由于n∈N，∴n≥10，

故n的最小值為10.