Question

已知圓O：x²+y²=r²（r＞0）和直線l：y=kx+1．
（1）若k=1時(shí)，圓O與直線l相交，求r的取值范圍；
（2）若r=2時(shí)，當(dāng)直線l截圓O的弦長(zhǎng)為

14

，求k的值．

Answer 1

分析：由圓O的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，
（1）將k的值代入直線l方程，確定出直線l，由圓O與直線l相交，得到圓心到直線l的距離小于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于r的不等式，求出不等式的解集即可得到r的范圍；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，再由r及弦長(zhǎng)，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：由圓O方程x²+y²=r²（r＞0），得到圓心（0，0），半徑為r，
（1）當(dāng)k=1時(shí)，直線l方程為y=x+1，
由圓O與直線l相交，得到圓心到直線的距離d＜r，
∴

1

2

＜r，即r＞

2

2

，
則圓O與直線l相交時(shí)，r的范圍為（

2

2

，+∞）；
（2）∵圓心到直線l的距離d=

1

k2+1

，且r=2，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為

14

，
∴

14

=2

r2-d2

，即

14

=2

4- 1 k2+1

，
整理得：k²=3，
解得：k=

3

或k=-

3

，
則k的值為

3

或-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離小于圓的半徑，此時(shí)常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．