Question

如圖，直線l₁與l₂是同一平面內(nèi)兩條互相垂直的直線，交點(diǎn)是A，點(diǎn)B、D在直線l₁上(B、D 位于點(diǎn)A右側(cè))，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M在l₁上的射影點(diǎn)是N，且|BN|=2|DM|.

(Ⅰ) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)D且不與l₁、l₂垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡C于E、F兩點(diǎn)；另外平面上的點(diǎn)G、H滿足：①②③求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，l₁為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(1，0)，B(4，0)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.

(Ⅱ點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為(0，）.

解析:

(Ⅰ) 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，l₁為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(1，0)，B(4，0)，設(shè)M（x，y），

則N（x，0）.   

∵|BN|=2|DM|，    ∴|4－x|=2,

整理得3x²+4y²=12,    ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.

(Ⅱ)∵

∴A、D、G三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在x軸上；又∵∴H點(diǎn)為線段EF的中點(diǎn)；又∵∴點(diǎn)G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點(diǎn)。        

設(shè)l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x²+4y²=12得

(3+4k²)x²－8k²x+4k²－12=0，由于l過(guò)點(diǎn)D(1，0)是橢圓的焦點(diǎn)，

∴l(xiāng)與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，EF的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x₀，y₀），

∴x₁+x₂=，x₁x₂=  ，      

x₀= = ，y₀=k(x₀－1)= ，   

∴線段EF的垂直平分線為

y－ y₀ =－  (x－x₀)，令y=0得，

點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x_G = ky₀+x₀ = + =

= －，

∵k≠0，∴k²>0，∴3+4k²>3，0<<，∴－<－<0，

∴x_G= －(0，）

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為(0，）.