Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）對(duì)任意的，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

（1）解法一：構(gòu)造函數(shù)，求出及，然后分類討論。

解法二：當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，通過分離得到，令，轉(zhuǎn)化為求在的最小值。

（2）由分析法要證，即證：繼而由（1）的解法二知：在時(shí)恒有，得證.

(1)解法一：令，

，

①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，

在為增函數(shù)，，

在為增函數(shù)，，即，恒成立，滿足.

②當(dāng)時(shí)，令，得

則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，

故函數(shù)為減函數(shù)，，

即當(dāng)時(shí)，有，矛盾.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是：.

解法二：當(dāng)時(shí)，恒成立；

當(dāng)時(shí)，即為，

轉(zhuǎn)化為求在的最小值，

，令，，

由知：在為增函數(shù)，

故在為增函數(shù)，

即，函數(shù)在為增函數(shù)，故沒有最小值.

又由諾必達(dá)法則知：

，故.

（2）證明：要證，即證：，

，，故即證：，左邊分子分母同除以，

即證：

令，則，即證，即證：.

而由（1）的解法二知：在時(shí)恒有，得證.