Question

若x₁，x₂是關于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0的兩個實數根，且x₁，x₂都大于1．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若

x1

x2

=

1

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中關于x的方程有兩個大于1的根，則△≥0，我們構造二次函數f（x），可得f（1）＞0，且對稱軸在1的右側，由此構造關于k的不等式組，解不等式組，即可得到k的取值范圍．
（2）根據方程的根與系數的關系寫出把兩根之間的關系寫出代入，然后可以得到關于k的方程組，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程x²-（2k+1）x+k²+1=0的兩個根大于1，
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²+1
∴△=4k-3≥0，

2k+1

2

＞1
f（1）＞0
解得

3

4

≤k＜1或k＞1
（2）∵

x1

x2

=

1

2

，
∴2x₁=x₂，①
x₁+x₂=2k+1，②
x₁•x₂=k²+1     ③
把①代入②③整理得
3x₁=2k+1，
2x₁²=k²+1
得k=7或k=1（舍去）．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，其中構造二次函數，利用函數的性質解答本題是整個解答過程的關鍵．