Question

如圖，函數(shù)y=2cos(ωx+θ)(x∈R，0≤θ≤

π

2

)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0，

3

)，且在該點(diǎn)處切線的斜率為-2．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知點(diǎn)A(

π

2

，0)，點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)Q（x₀，y₀）是PA的中點(diǎn)，當(dāng)y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]時(shí)，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)（0，

3

）以及θ的范圍，求θ，利用導(dǎo)數(shù)和斜率的關(guān)系求ω的值；
（2）利用點(diǎn)A(

π

2

，0)，點(diǎn)Q（x₀，y₀）求出P，點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，代入表達(dá)式，利用y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]，求x₀的值．

解答：解：（1）將x=0，y=

3

代入函數(shù)y=2cos（ωx+θ）得cosθ=

3

2

，
因?yàn)?span id="tdr37bx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0≤θ≤

π

2

，所以θ=

π

6

．
又因?yàn)閥'=-2ωsin（ωx+θ），y'|_x=0=-2，θ=

π

6

，所以ω=2，
因此y=2cos(2x+

π

6

)．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A(

π

2

，0)，Q（x₀，y₀）是PA的中點(diǎn)，y0=

3

2

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x0-

π

2

，

3

)．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在y=2cos(2x+

π

6

)的圖象上，所以cos(4x0-

5π

6

)=

3

2

．
因?yàn)?span id="9vtfnxj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

π

2

≤x0≤π，所以

7π

6

≤4x0-

5π

6

≤

19π

6

，
從而得4x0-

5π

6

=

11π

6

或4x0-

5π

6

=

13π

6

．
即x0=

2π

3

或x0=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．