Question

四位同學在研究函數f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)時，分別給出下面四個結論：
①函數 f（x）的圖象關于y軸對稱；       
②函數f（x）的值域為 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則 fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．  
你認為上述四個結論中正確的有______．

Answer 1

∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴函數 f（x）為奇函數，故其圖象關于原點對稱，①錯誤；
對于②，當x＞0時，f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈（0，1），
當x＜0時，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1，
∵x＜0，
∴-x＞0，1-x＞1，
∴0＜

1

1-x

＜1，-1＜

1

1-x

-1＜0，
∴當x＜0時，f（x）∈（-1，0），
又f（0）=0，
∴函數f（x）的值域為 （-1，1），即②正確；
由②的分析可知，當x＞0時，f（x）=1-

1

1+x

為單調函數，同理，當x＜0時，f（x）=

x

1+|x|

=

1

1-x

-1也是單調函數，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確；
對于④，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，…
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，故④正確．
故答案為：②③④．