Question

2013年東亞運(yùn)動會于2013年10月6日至10月15日在中國天津舉行．天津某體育用品專賣店抓住商機(jī)購進(jìn)某種東亞運(yùn)動會特許商品進(jìn)行銷售，該特許產(chǎn)品的成本為20元/個，每日的銷售量y（單位：個）與單價x（單位：元）之間滿足關(guān)系式y=

a

x-20

+4(x-50)2（其中20＜x＜50，a為常數(shù)）．當(dāng)銷售價格為40元/個時，每日可售出該商品401個
（1）求a的值及每日銷售該特許產(chǎn)品所獲取的總利潤L（x）；
（2）試確定單價x的值，使所獲得的總利潤L（x）最大．

Answer 1

分析：（1）由銷售價格為40元/個時，每日可售出該商品401個求出a的值，則總利潤L（x）等于售量乘以售價減去總成本；
（2）對利潤函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析當(dāng)x取何值時總利潤最大．

解答：解：（1）由y=

a

x-20

+4(x-50)2，取x=40，y=401得，401=

a

40-20

+4(40-50)2
解得：a=20．
所以y=

20

x-20

+4(x-50)2．
則每日銷售該特許產(chǎn)品所獲取的總利潤
L（x）=y（x-20）=[

20

x-20

+4(x-50)2](x-20)=20+4(x-50)2(x-20)（20＜x＜50）；
（2）由L（x）=20+4（x-50）²（x-20）=4x³-480x²+18000x-199980．
得L′（x）=12x²-960x+18000=12（x-30）（x-50）．
當(dāng)x∈（20，30）時，L′（x）＞0，L（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（30，50）時，L′（x）＜0，L（x）為減函數(shù)．
所以當(dāng)x=30時，L（x）_max=16020．
所以當(dāng)銷售單價為30元/個時，所獲得的總利潤L（x）最大．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)模型的建立，是中檔題．