【題目】已知是大于10的正整數(shù),集合含有個元素,若集族滿足以下兩個條件,則稱它是“合適的”:
(1)對任意;
(2)對任意,集合中至多含有一個元素。
對任意正整數(shù),試求最大正整數(shù),使得存在一個包含個集合的合適的集族。
【答案】4
【解析】
所求的最大正整數(shù)。
取的兩個不互補(bǔ)的元子集,并令分別是的補(bǔ)集,從這四個集合中任取三個集合,由于總存在兩個集合互補(bǔ),因此,這三個集合的交集為空集,
假設(shè)集族中包含的5個子集,5個子集中共有個元素,
1.若有1個元素出現(xiàn)5次,則其他元素至多出現(xiàn)2次,知5個子集中至多有
個元素,矛盾,
2.若有2個元素各出現(xiàn)4次,則此2個元素至少在3個子集中同時出現(xiàn),矛盾,
3.若恰有1個元素出現(xiàn)4次,設(shè)出現(xiàn)3次的元素有個,則
,
ⅰ.當(dāng)時,至少有個元素各至少出現(xiàn)3次;
ⅱ.當(dāng)時,有1個元素出現(xiàn)4次,個元素出現(xiàn)3次,
4.若沒有元素出現(xiàn)4次,設(shè)出現(xiàn)3次的元素有個,則
,
綜上,只有兩種情況:
①至少有個元素各至少出現(xiàn)3次;
②有一個元素出現(xiàn)4次,個元素各出現(xiàn)3次,
對于①,因5個子集中任3個子集的交集的元素個數(shù)不超過1,故至少出現(xiàn)3次的元素個數(shù),矛盾,
對于②,同理,由至少出現(xiàn)3次的元素個數(shù),知且5個子集中任3個子集的交集恰為單元集,此10個單元集互不相同,但對出現(xiàn)4次的元素,其在4個單元集中都出現(xiàn),矛盾,
故不存在包含5個集合的合適的集族,
綜上所述,所求的最大正整數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天氣預(yù)報,在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為,至少有一個地方降雨的概率為,已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率,且在這段時間甲、乙兩地降雨互不影響.
(1)分別求甲、乙兩地降雨的概率;
(2)在甲、乙兩地3天假期中,僅有一地降雨的天數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.
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【題目】在棱長為2的正方體中,,分別為棱、的中點,為棱上的一點,且,設(shè)點為的中點,則點到平面的距離為( )
A. B. C. D.
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【題目】若,使得函數(shù)與的圖像有公共點,且它們在公共點處的切線相同,則實數(shù)的最大值為( )
A. B. C. D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,過點的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若點的直角坐標(biāo)為,求直線及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點在圓上,直線與交于兩點,求的值.
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【題目】大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中,有一個游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實原理是十分簡單的,要學(xué)會盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗證這個結(jié)論,某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查,得到的情況如下表所示:
喜歡盲擰 | 不喜歡盲擰 | 總計 | |
男 | 23 | 30 | |
女 | 11 | ||
總計 | 50 |
表(1)
并邀請其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表(2)所示.
成功完成時間(分鐘) | ||||
人數(shù) | 10 | 4 | 4 | 2 |
表(2)
(Ⅰ)將表(1)補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從表(2)中成功完成時間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄,求2人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)的概率.
附參考公式及參考數(shù)據(jù):,其中.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù),為直線傾斜角).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)當(dāng)時,直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點的直角坐標(biāo)為,直線與曲線交于兩點,當(dāng)面積最大時,求直線的普通方程.
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【題目】設(shè)函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為,求實數(shù)的值;
(2)當(dāng)時,若存在,使成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程是: ,以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)過原點的直線與曲線交于, 兩點,且,求直線的斜率.
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