Question

（2012•河南模擬）給出以下四個命題：
①已知命題p：?x∈R，tanx=2；命題q：?x∈R，x²-x+1≥0，則命題p∧q是真命題；
②過點（-1，2）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是x+y-1=0；
③函數(shù)f（x）=2^x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個零點；
④若直線xsin α+ycos α+l=0和直線xcosα-

1

2

y-1=0垂直，則角α=kπ+

π

2

或α=2kπ+

π

6

(k∈Z)．
其中正確命題的序號為

①③

．（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：由正切的定義和二次函數(shù)零點的結(jié)論，可得①是真命題；由直線在坐標軸上的截距定義，可得②是假命題；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理，可得③是真命題；根據(jù)兩條直線垂直的充要條件，結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，可得④是假命題．

解答：解：對于①，根據(jù)正切的定義知命題p是真命題，
而命題q：?x∈R，x²-x+1≥0，因為△=（-1）²-4×1×1=-3＜0，
所以拋物線y=x²-x+1開口向上并且與x軸無公共點，故p也是真命題．
因此命題p∧q是真命題，①正確；
對于②，過點（-1，2）且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程除了x+y-1=0還有y=-2x，故②不正確；
對于③，f（x）=2^x+2x-3在R上是增函數(shù)，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函數(shù)f（x）=2^x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個零點，故③是真命題；
對于④，直線xsin α+ycos α+l=0和直線xcosα-

1

2

y-1=0垂直，則sinαcosα-

1

2

cosα=0，
可得sinα=

1

2

或cosα=0，所以α=2kπ+

π

6

或α=2kπ+

5π

6

或α=kπ+

π

2

由此可得④不正確．
故答案為：①③

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理、兩條直線位置關(guān)系和簡單的三角方程等知識，屬于基礎(chǔ)題．