Question

（2010•臺(tái)州二模）已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+x-2在R上恒為增函數(shù)，則a的取值范圍是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先取絕對(duì)值得到分段函數(shù)，要使f（x）在R上增，需要滿足二個(gè)條件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式，解之即可．

解答：解：f（x）=

x2+(1-a)x-2，x≥a -x2+(1+a)x-2，x＜a

要使f（x）在R上增，需要滿足二個(gè)條件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增
（1）f（x）在[a，+∞）上增，則對(duì)稱軸x=

a-1

2

在區(qū)間[a，+∞）的左邊，即

a-1

2

≤a，解得a≥-1；
（2）f（x）在（-∞，a）上增，則對(duì)稱軸x=

a+1

2

在區(qū)間（-∞，a）的右邊，即

a+1

2

≥a，解得a≤1；
從而a的取值范圍是[-1，1]
故答案為：[-1，1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)和分段函數(shù)，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．